Notation og repræsentationers betydning for matematik
Notation, og det at have en velegnet repræsentation af et matematisk problem, spiller en afgørende rolle for håndteringen og udviklingen af matematik. Her vises nogle illustrerende eksempler på hvordan.
Af Jessica Carter
Der er en ofte fortalt historie om den berømte matematiker Gauss, der som ung skoledreng blev stillet et – troede hans lærer – svært problem, der skulle holde ham beskæftiget i noget tid. Læreren satte ham til at lægge alle tal fra 1 til 100 sammen. Desværre virkede det ikke: Gauss klarede opgaven på ganske kort tid, da han fandt en smart måde at opstille problemet:
1+ 2+ 3+…
+50 100+99+ … + 51
-----------------------
101+101+… +101
Ovenstående overbeviste Gauss om, at summen var 50 gange 101, som er lig 5050. Generelt spiller det en stor rolle, når man laver matematik, at man har noget notation eller en velegnet repræsentation – noget der også er blevet bemærket af mange matematikere igennem tiden. Leibniz, som var meget optaget af at producere en velegnet (matematisk og logisk) notation, skrev for eksempel i 1677:
Spørg dig selv om du kan udføre nogen aritmetiske beregninger overhovedet uden at gøre brug af tal-symboler
At regne med tal kræver en eller anden form for talsymboler. Det har vist sig, at vores talsystem, det arabiske 10-talssystem, er særdeles velegnet til både at repræsentere tallene og regne med dem. De fleste ville nok i dag gribe fat i en lommeregner, hvis der skal laves større beregninger – men bemærk, at udregningen stadig kræver en bestemt repræsentation af tallene: det vil nok være en større udfordring for de fleste at lægge eller gange de to tal “to tusinde femhundrede og otteogtyve” og “nitusinde trehundrede og sytten” sammen uden først at oversætte dem til talsymboler i vores titalssystem.
En god måde at repræsentere et problem på kan desuden være afgørende for løsningen af det. Endvidere er det nogle gange en fordel at benytte sig af figurer, eller visuelle repræsentationer, når man vil løse et problem. Et eksempel, som vi betragter nedenfor, er at finde heltals-tripler, som opfylder Pythagoras sætning, dvs. at finde heltal a, b, c så a2 + b2 = c2.
Det skal understreges her, at jeg hermed ikke påstår, at figurer generelt kan bruges til at bevise udsagn i matematik. Jeg taler om, at resultater kan opdages eller anskueliggøres ved hjælp af visuelle repræsentationer. Her vil jeg især fokusere på, hvordan notation og forskellige måder at repræsentere problemer på, inklusive som diagrammer, hjælper os til at opdage sammenhænge, og at de kan bidrage til at anskueliggøre disse.
I denne artikel vil jeg således give nogle konkrete eksempler på, hvordan repræsentationer og notation spiller en rolle for, hvad vi kan se og gøre i matematik. Overordnet kan man tale om, at notation eller en bestemt repræsentation på den ene side har potentiale til at vise forskellige aspekter ved et matematisk begreb og på den anden side give mulighed for forskellige manipulationer (svarende til en udledning af egenskaber hos begrebet). Jeg vil her vise eksempler på, hvordan en geometrisk repræsentation kan give anledning til ny indsigt og omvendt, hvordan algebraisk notation har bidraget til en løsning af problemer.
Manipulation af repræsentationer
Det meste af matematisk problemløsning og ræsonnement kræver, at man gør brug af en eller anden form for matematisk notation. Som et simpelt eksempel kan vi betragte begreberne “lige” og “ulige tal”. Hvis jeg vil bevise sætninger om disse, er det en fordel at udtrykke dem på en måde, der afspejler deres matematiske egenskaber eller struktur. Det er karakteristisk for et lige tal, at det er deleligt med 2, hvorfor vi kan skrive et vilkårligt lige tal, n, på formen n = 2 · k for et naturligt tal k. (Tilsvarende kan et ulige tal skrives som n = 2 · k + 1 .) Udstyret med denne repræsentation, kan vi udlede forskellige sætninger. For eksempel at kvadratet på et lige tal er lige: Vi repræsenterer et lige tal, n, som før: n = 2k. Vi kvadrerer dette, og benytter nogle algebraiske regneregler (hvilket svarer til, at vi manipulerer den givne repræsentation):
n2 = (2k)2 = 4 · k2 = 2 · 2k2
Vi observerer, at det sidste udtryk igen er på formen 2m for et naturligt tal m (som er 2k2), og at det derfor er lige. Tilsvarende beregning på n = 2 · k + 1 kan udføres for at konstatere, at kvadratet på et ulige tal er ulige.
Repræsentation som opdagelsesværktøj
Pythagoras’ sætning angiver en relation mellem siderne i en retvinklet trekant, at kvadratet på hypotenusen er lig summen af kvadraterne på kateterne. Hvis disse sider betegnes henholdsvis, c, a og b kan sætningen skrives: c2 = a2 + b2. Det er uvist, hvem der først beviste denne sammenhæng. Der findes et utal af argumenter for sammenhængen, nogle er rent visuelle, mens andre kombinerer geometriske og algebraiske argumenter. Det er ikke beviset for Pythagoras’ sætning, vi skal se på her. Jeg har i stedet valgt at illustrere et andet problem i relation til sætningen. Det er velkendt, at der findes forskellige heltals-tripler, som opfylder relationen. For eksempel kan tallene 3, 4 og 5 indsættes: 32 + 42 = 52. Spørgsmålet er, hvordan man finder frem til disse tripler?
En repræsentationsform, som Pythagoræerne brugte, kan benyttes til at finde heltalsløsninger. “Pythagoræerne” refererer til følgerne af Pythagoras (ca. 572-497 f. Kr.), som dannede en skole ved Crotone i det nuværende Italiens sydspids. De repræsenterede tal ved at placere småsten i mønstre i form af forskellige geometriske figurer og blev hermed i stand til at formulere forskellige sammenhænge. Ét eksempel er en repræsentation af tal som kvadrattal.
I figur 2 i faktaboksen ses, at et kvadrattal kan opdeles i et “indre kvadrat” samt en rest, der tilsammen kan udtrykkes som (n + 1)2 = n2 + (2n + 1). Dette minder om Pythagoras’ sætning – hvis bare 2n+1 svarer til et kvadrattal. Vi kan derfor lede efter kvadrattal, som er ulige tal, for derefter at bestemme hvad “n” svarer til. Man kan vise, at ulige kvadrattal præcis svarer til kvadratet på ulige tal. Vi har derfor en systematisk måde at lede efter tripler: Vi kan forsøge os med det første ulige tal, 3, som kvadreret giver 9 = 2 · 4 + 1. Det giver n = 4 og n+1 = 5. Det giver os triplet (3, 4, 5). Næste ulige tal er 5, som giver n = 12, og n+1 = 13, og følgende heltalsløsning (5, 12, 13). Forklaring og yderligere heltalstripler findes i den tilhørende faktaboks.
Notation bidrager til at sammenhænge bliver synlige
Eksemplet før illustrerer, hvorledes en geometrisk repræsentation kan frembringe struktur; i det konkrete tilfælde, hvordan et kvadrat kan splittes op i mindre kvadrater. I dette afsnit ser vi, hvordan ny (algebraisk) notation kan være medvirkende til, at vi kan få øje på sammenhænge, som tidligere har været umulige at se. For at illustrere dette giver jeg et eksempel fra overgangen fra geometri til analytisk geometri, som var medvirkende til, at franskmanden René Descartes kunne formulere en formodning om, hvorfor de såkaldte klassiske problemer ikke kunne løses med passer og lineal.
I det antikke Grækenland formulerede man de såkaldte Klassiske problemer. Et af disse kaldes “Terningens fordobling”. Hvis der er givet en terning med et bestemt rumfang, så skal man konstruere siden i en terning med det dobbelte rumfang. For alle problemer gælder, at løsningerne skal kunne findes udelukkende ved at gøre brug af passer og lineal (uden måleegenskaber). På trods af mange geniale løsninger, hvor man brugte andre værktøjer, kunne problemet ikke løses med de givne forudsætninger.
De Klassiske Problemer
De klassiske problemer blev formuleret, og forsøgt løst i det antikke Grækenland. Forudsætningen for løsningen var, at den udelukkende måtte benytte sig af en passer og en lineal (uden måleenhed). De tre problemer er følgende:
Fordobling af terningen. Givet en terning med et vist rumfang, konstruér siden i den terning, som har det dobbelte rumfang.
Vinklens tredeling siger, at man givet en vilkårlig vinkel skal kunne konstruere en vinkel med en tredjedel af dens størrelse.
Cirklens kvadratur kræver, at man, givet en vilkårlig cirkel, skal kunne konstruere et kvadrat med samme areal. Problemerne blev oprindeligt formuleret fra omkring midten af det 5. århundrede f.Kr. En af de første, som arbejdede med terningens fordobling og cirklens kvadratur, var Hippocrates fra Chios. De to første problemer er formentlig inspireret af, at lignende, simplere problemer kunne løses. Det er muligt både at halvere en vinkel og at bestemme siden i et kvadrat, som fordobler arealet af et givet kvadrat. Sidstnævnte problem indgår i en af Platons dialoger, Menon, som del af en illustration af, hvorledes vi erkender matematiske sandheder. Cirklens kvadratur beskriver en generel søgen efter en måde at beregne arealet af en cirkel.
1637 præsenterede Descartes i sin bog “La Geometrie”, Geometrien, en forklaring på hvorfor. I denne formulerer Descartes grundstenen til den analytiske geometri og introducerer det, som bliver til det kartesiske koordinatsystem. I dette værk viser han, hvorledes geometriske konstruktionsproblemer kan oversættes til ligningssystemer og demonstrerer, hvordan de kan løses algebraisk. Derefter viser han, hvordan løsningerne til ligningerne kan konstrueres geometrisk.
Han viser, at problemer, som giver anledning til en andengradsligning, har en løsning, som kan konstrueres ved hjælp af passer og lineal. Omvendt kan problemer, der oversættes til en ligning hvis grad er tre, ikke nødvendigvis løses med disse redskaber. Specielt kan løsningen af problemer, som giver anledning til en tredjegradsligning, som ikke har rationale rødder, ikke konstrueres. Hvis man oversætter fordoblingen af terningen til en ligning, bliver det netop til en sådan tredjegradsligning, og løsningen kan derfor ikke konstrueres med disse værktøjer.
Men for at alt dette kan indses, er man nødt til have noget notation, som tillader, at man kan tale om anden, tredje, eller generelt n’te gradsligninger. En forudsætning for Descartes’ indsigt var, at han blandt andet indførte konven- tionen, at et tal ganget med sig selv et antal gange skal skrives ved hjælp af en potens, for eksempel at a3 = a · a · a. En anden konvention var, at linjestykker betegnes ved et enkelt bogstav (for eksempel “a”) i stedet for ved deres endepunkter, som blev benyttet i den tidligere græske matematik, fx hos Euklid. Konstruktionen af et kvadrat eller en terning på et linjestykke kan således udtrykkes algebraisk som a2 eller a3. Ved oversættelse af de geometriske problemer opnår man så ligninger i forskellig grad – udtrykt ved tallet i potens. Denne information kan ikke observeres i den geometriske kontekst, der består af geometriske figurer og simple kurver samt konstruktioner af disse.
Til sidst skal det lige nævnes, at Descartes ikke var i stand til at formulere et stringent bevis for sin påstand. Beviset kræver begreber fra den abstrakte algebra, som først blev introduceret i løbet af det 19. århundrede.
Forskellig notation giver forskellige fordele
Ovenstående illustrerer, hvordan indførelse af notation og en velegnet repræsentation gør det muligt at opnå nye indsigter i matematikken. Endvidere så vi i starten af artiklen, hvordan notation benyttes i beregninger og kan udnyttes i matematisk bevisførelse. I eksemplet med de Klassiske problemer, fordoblingen af terningen, så vi, at der er to måder at repræsentere og håndtere problemerne – både geometrisk og algebraisk.
Tilsvarende findes eksempler på, at der er forskellige systemer af notation for det samme matematiske område. For eksempel har man igennem historien benyttet et utal af symbolsystemer for tallene. De fleste har, udover vores arabiske titalssystem, også stødt på det romerske additive talsystem. Hvert af disse systemer har forskellige fordele.
I det tilhørende materiale i online-versionen af denne artikel illustreres denne pointe – at der kan være forskellig systemer af notation for det samme matematiske område, og at disse systemer har forskellige styrker, afhængig af hvad de bruges til. Det konkrete område, der tages udgangspunkt i, er udsagnslogik. ♦
Om forfatteren
Jessica Carter er lektor ved Institut for Matematik og Datalogi, Syddansk Universitet.
Hendes forskning kombinerer matematikkens videnskabsteori og historie. Hun interesserer sig blandt andet for, hvordan repræsentationer, herunder diagrammer, bidrager til udviklingen af ny matematik. jessica@imada.sdu.dk.
Se eller hent artiklen: Notation og repræsentationers betydning for matematik som pdf
Supplerende artikel: Udsagnslogik - styrker og svagheder ved forskellige systemer af notation.
Videre læsning
På Aktuel Naturvidenskabs hjemmeside finder du supplerende materiale til denne artikel i form af artiklen: Udsagnslogik - styrker og svagheder ved forskellige systemer af notation.
Florian Cajori 2011: A history of mathematical notations. Dover Publications.
Victor J. Katz 2009: A History of Mathematics. An Introduction. 3rd Edition. Pearson Education, Inc.
Jesper Lützen 1993: Cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling. 2. oplag. Systime.
Se hele bladet
Du kan se hele blad nr. 5-2020 som bladre-pdf og hente det som pdf.