Alt fra menneskehjernens milliarder af neuroner til hele byers omfattende netværk af ledninger og kommunikations­systemer er eksempler på såkaldte adaptive netværk. Altså netværk, der tilpasser sig, mens de fungerer. Adaptive netværk er derfor vigtige at forstå for at kunne forklare en mangfoldighed af processer i vores krop og i vores samfund. Problemet er bare, at de er ekstremt vanskelige at analysere. 

Lektor ved RUC Erik A. Martens har nu sammen med Christian Bick fra Vrije Universiteit i Amsterdam udviklet en ny matematisk ramme til at analysere adaptive netværk, som giver en vej til at gøre dem mere forståelige. Arbejdet er for nylig publiceret i det videnskabelige tidsskrift Chaos.

Et netværk består af noder (knudepunkter), som kan repræsentere for eksempel neuroner, hvor hver node er forbundet med en eller flere andre noder. Og disse forbindelser kan variere i styrke. I mange klassiske modeller for netværk betragtes forbindelserne som faste. Men i virkeligheden ændrer netværk sig konstant. I hjernen, for eksempel, styrkes forbindelser mellem neuroner, der er aktive samtidig – det er en af de vigtigste mekanismer bag læring. I adaptive netværk påvirker udviklingen af noder og forbindelser hinanden, så både netværkets struktur og dynamik ændrer sig over tid. Det gør systemet langt mere komplekst end et statisk netværk.

Kompleksiteten kan illustreres med et netværk med kun fire noder. Hvis hver node kun har én tilstand, skal vi holde styr på fire variabler. Men hvis alle fire kan forbinde sig med hinanden, findes der seks mulige forbindelser, som hver især kan ændre styrke. Det betyder, at systemet i alt har ti variabler. Hver ny node gør systemet endnu mere indviklet at analysere. Hjernen rummer til sammenligning omkring 86 milliarder neuroner forbundet gennem omtrent en billiard (1015) synapser. Selvom en stor del af forbindelserne er svage eller inaktive, vokser antallet af mulige tilstande så enormt, at ingen computer i dag kan overskue dem fuldt ud.

Martens og Bick præsenterer i deres afhandling en løsning på dette problem. De viser, at adaptive netværk i mange tilfælde kan beskrives langt enklere, end det umiddelbart ser ud. Nøglen er at identificere begrænsninger – såkaldte constraints – der gør det muligt at reducere systemets dimensioner. Begrænsningerne kan være naturlige, fordi netværket udvikler sig på en sådan måde, at visse forbindelser opfører sig ens. Men de kan også være pålagt, for eksempel ved at man lader hele netværkets samlede forbindelsesstyrke være konstant eller fastholder styrken på bestemte forbindelser. Under sådanne forhold kan de mange styrker i visse tilfælde reduceres til færre overordnede størrelser. I et netværk med fire noder behøver man dermed ikke længere seks variabler til at beskrive forbindelserne, men blot én.

På den måde kan forskerne som en approksimering systematisk skære ned på antallet af frihedsgrader, samtidig med at systemet bevarer dets væsentlige dynamik. Herved bliver selv de mest uoverskuelige systemer håndterbare og egnet til kvantitativ analyse. For eksempel kan det blive nemmere at bestemme de punkter, hvor et system pludselig ændrer karakter (kaldet en faseovergang). I hjernen kan neuroner eksempelvis skifte fra uorganiseret aktivitet til rytmisk fælles svingning, hvor store områder arbejder synkront.

Det nye matematiske værktøj åbner ifølge Erik A. Martens døren for en dybere forståelse af de dynamiske processer, der former vores verden. Næste skridt for forskerne bliver derfor at anvende metoden på netværk fra den fysiske og biologiske verden.

CRK, Kilder: RUC. dk Vid. artikel: Chaos 35, 103141 (2025), doi.org/10.1063/5.0289706.